Les relations avant les choses / Théorie des catégories

Une chose est ses connexions

Le dernier essai interdisait de regarder à l’intérieur des objets et promettait que la perte n’était pas réelle. Voici pourquoi. La théorie des catégories contient un résultat — le lemme de Yoneda — dont l’énoncé technique est sec et dont le sens est extraordinaire : un objet est complètement déterminé par la totalité de ses relations à tous les autres objets.

Énoncé clairement : si vous connaissez chaque flèche entrant dans une chose (ou chaque flèche en sortant), et comment ces flèches composent, vous connaissez la chose complètement. Deux objets qui se relient à tout le reste exactement de la même manière ne sont pas simplement similaires — ils sont, à toutes fins, le même objet. Il n’y a pas de fait supplémentaire sur ce qu’ils « sont vraiment » caché derrière les relations.

L’identité est relationnelle

C’est une affirmation sur l’identité elle-même, et elle va contre une intuition profonde. Nous avons tendance à penser qu’une chose a une essence intérieure — un cœur de ce-qu’elle-est qu’elle garderait même si tout autour disparaissait. La théorie des catégories dit : il n’y a pas un tel cœur, ou plutôt, le cœur n’est pas à l’intérieur de la chose du tout. C’est le motif de comment la chose se tient en relation à tout le reste.

Considérez le nombre cinq. Qu’est-il ? Pas une essence privée cachée dans quelque voûte platonicienne. Cinq est la chose qui vient après quatre et avant six, qui s’ajoute à sept pour faire douze, qui compte ces doigts. C’est une position dans le réseau des relations arithmétiques — et cette position, complètement spécifiée, ne laisse rien de plus à savoir. « Cinq-ité » n’est pas une substance. C’est un rôle.

Dites-moi comment quelque chose se relie à tout le reste, complètement, et je n’ai pas décrit la chose — je vous l’ai donnée. Il n’y a pas de résidu.

Le tournant structuraliste

C’est la forme rigoureuse d’une idée qui a surgi dans chaque sujet jusqu’ici. La valeur, avons-nous dit, n’était pas dans l’objet ou l’esprit mais dans la relation entre eux. Les décisions se transféraient parce que leur structure — relations entre options — portait le sens, pas leur contenu. Maintenant la mathématique la plus abstraite que nous ayons dit la même chose sur l’existence elle-même : être, c’est se tenir dans des relations, et les relations ne sont pas ajoutées sur la chose ; elles en sont constitutives.

C’est une révolution silencieuse dans la manière de penser quoi que ce soit. Arrêtez de demander « qu’est-ce que c’est, en soi ? » — une question qui peut n’avoir pas de réponse — et demandez plutôt « comment cela se relie-t-il à tout ce qui l’entoure ? » La seconde question a toujours une réponse, et sa réponse complète est tout ce que la première question cherchait.

Pourquoi c’est libérateur, pas dégonflant

Cela peut sonner comme une perte : les choses n’ont pas de profondeur intérieure, seulement un réseau de connexions. Mais retournez-le. Cela signifie que l’identité est lisible — pleinement disponible dans le motif des relations, pas verrouillée dans une essence inaccessible. Cela signifie qu’une chose peut être comprise complètement de l’extérieur, en cartographiant comment elle se connecte. Et cela signifie que de quoi une chose est faite est, pour tout but structurel, sans importance : ce qui compte est le rôle qu’elle joue, et un rôle peut être joué par beaucoup de matériaux différents.

Ce dernier point n’est pas une note de bas de page. Si l’identité est relationnelle et les rôles sont indifférents au substrat, alors la même structure peut être réalisée dans des matières complètement différentes et être, dans tout ce qui compte, la même. Un motif ne se soucie pas de ce sur quoi il est imprimé.

C’est l’idée suivante, et c’est celle qui permet à cette mathématique abstraite de rejoindre tout le chemin jusqu’aux esprits, aux médias, et à la question de ce qui fait qu’une chose — ou quelqu’un — est elle-même.